Вопрос 13. Системы счисления

Тема:  Системы счисления и двоичное представление информации в памяти компьютера.

Что нужно знать для решения этого задания?

Что такое  система счисления?

Это способ записи числа с помощью знаков (символов, которые мы называем цифрами)
Какими цифрами, знаками мы  пользуемся? 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Эти цифры мы называем арабскими. Но не всегда человечество использовало для записи числа эти знаки. Разные народы использовали разные знаки:
древние римляне использовали римские цифры I, II. III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, Наши предки древние славяне использовали кириллицу, над буквой ставился значок "титло", который обозначал, что это не буква, а число.

В XVII немецкий ученый Го́тфрид Ви́льгельм Ле́йбниц окончательно разработал систему счисления, в которой все числа можно записать с помощью двух знаков 0 и 1, она называется двоичная система счисления. Лейбниц писал: 

«Вычисление с помощью двоек... является для науки основным и порождает новые открытия... При сведении чисел к простейшим началам, каковы 0 и 1, везде появляется чудесный порядок». Как перевести обычное число (десятичное) в двоичное состояние? Как выполнять задание? ·    перевод чисел между десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системами счисления Полезно помнить, что в двоичной системе: ·    четные числа оканчиваются на 0, нечетные – на 1; ·    числа, которые делятся на 4, оканчиваются на 00, и т. д.; числа, которые делятся на 2k, оканчиваются на k нулей ·    если число N принадлежит интервалу 2k-1 £ N < 2k, в его двоичной записи будет всего k цифр, например, для числа 125:                                26 = 64 £ 125 < 128 = 27,    125 = 11111012  (7 цифр) ·    числа вида 2k записываются в двоичной системе как единица и k нулей, например:           16 = 24 = 100002 ·    числа вида 2k-1 записываются в двоичной системе k единиц, например:           15 = 24-1 = 11112 ·    если известна двоичная запись числа N, то двоичную запись числа 2·N можно легко получить, приписав в конец ноль, например:      15 = 11112,          30 = 111102,         60 = 1111002,   120 = 11110002 ·           желательно выучить наизусть таблицу двоичного представления чисел 0-7 в виде триад (групп из 3-х битов): X10, X8 X­2 X10, X8 X­2 0 000 4 100 1 001 5 101 2 010 6 110 3 011 7 111 и таблицу двоичного представления чисел 0-15 (в шестнадцатеричной системе – 0-F16) в виде тетрад (групп из 4-х битов): X10 X­2 X10 X­16 X­2 0 0000 8 8 1000 1 0001 9 9 1001 2 0010 10 A 1010 3 0011 11 B 1011 4 0100 12 C 1100 5 0101 13 D 1101 6 0110 14 E 1110 7 0111 15 F 1111 Пример задания: Вопрос 13 (Демо_2016)  Переведите число 126 из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления. В ответе укажите двоичное число, основание системы счисления указывать не нужно. Решение. (вариант первый прямой перевод) 1) переводим число 126 в двоичную систему счисления: 126:2=63 (0) 63:2 = 31 (1) 31:2 = 15 (1) 15 :2 =  7 (1)  7   :2  = 3 (1)  3 :  2 = 1  (1) 1  : 2 = 0  (1)  Двоичное число представлено остатками 0 или 1, записываем снизу вверх 1111110 Ответ: 1111110 Решение (вариант 2, разложение на сумму степеней двойки): 1) раскладываем число 126, на числа, которые легко перевести в степени двоек 126=64+32+16+8+4+2=26+25+24+22+21 2) нужно знать таблицу степеней двойки 26=1000000 25=100000 24=10000 23=1000 22=100 21=10 Складываем двоичные числа: 1000000+100000+10000+1000+100+10=1111110 Ответ: 1111110 Какой способ решения выбрать? Тот, который вы лучше знаете. Ещё пример задания:  Сколько единиц в двоичной записи числа 1025? 1) 1            2)  2       3)  10  4) 11 Решение (вариант 1, прямой перевод): 1)      переводим число 1025 в двоичную систему: 1025 = 10000000001­2 2)      считаем единицы, их две 3)      Ответ: 2 Возможные проблемы: легко запутаться при переводе больших чисел. Решение (вариант 2, разложение на сумму степеней двойки): 1)      тут очень полезно знать наизусть таблицу степеней двойки, где 1024 = 210 и 1 = 20 2)      таким образом, 1025=  1024 + 1 = 210 + 20 3)      вспоминая, как переводится число из двоичной системы  в десятичную (значение каждой цифры умножается на 2 в степени, равной её разряду), понимаем, что в двоичной записи числа ровно столько единиц, сколько в приведенной сумме различных степеней двойки, то есть, 2 4)      Ответ: 2 Возможные проблемы: нужно помнить таблицу степеней двойки. Когда удобно использовать: ·    когда число чуть больше какой-то степени двойки Материал взят: http://kpolyakov.spb.ru/school/ege.htm